2 SOLUCIÓN DEL CASO GRIS : PRIMERA APROXIMACIÓN DE

      EDDINGTON

 

2.1 Planteamiento del problema

 

            En la primera aproximación de Eddington se considera no sólo una atmósfera gris (k_n = k), sino en general una atmósfera estática, semi-infinita, estratificada en capas plano-paralelas, sin radiación entrante y en la cual se admite que existe equilibrio radiativo y equilibrio termodinámico local (ETL). La solución de una atmósfera con todas estas características consiste en hallar la función fuente S(t), ya que esta función está incluida en el integrando de las ecuaciones (7.25) y (7.26) - solución general de la ecuación del transporte radiativo para la intensidad específica monocromática – y en los integrandos de las ecuaciones  (7.35), (7.40) y (7.41).

 

            La hipótesis básica formulada por Eddington consiste en aceptar que la intensidad específica integrada en una cierta dirección en un punto cualquiera de una atmósfera estelar con las condiciones mencionadas, puede representarse en primera aproximación como la diferencia entre una intensidad constante I₁(t) que emerge de la capa a profundidad óptica t  y una intensidad constante I₂(t) que penetra a dicha capa (Figura 9-1). Las intensidades I₁ e I₂ son constantes respecto del ángulo q  en cada hemisferio, pero ambas dependen de la profundidad óptica t. La Figura 9-1 muestra un punto arbitrario dentro de la fotosfera estelar a una determinada profundidad óptica t. La hipótesis básica formulada por Eddington puede entonces resumirse de la siguiente manera :

 

 

 

                                                             I₁(t)  para 0 £ q  < p/2

                                               I(t,q)

                                                             I₂(t)  para p/2 < q  £ p

 

 

 

2.2 Cálculo de J(t), S(t) y K(t)

 

            Para calcular el valor de la intensidad media integrada J(t) en función de I₁(t) e I₂(t) en la primera aproximación de Eddington, basta recordar la definición misma de J(t). De ella se desprende que :

 

 

 

 

de la cual resulta en forma inmediata :

 

 

                                                                (9.8)

 

 

            Este resultado es lógico si se tiene en cuenta la hipótesis básica de Eddington. Por su parte, el flujo integrado F(t) puede escribirse en términos de las intensidades I₁ e I₂ de la siguiente manera :

 

 

 

 

 

            Dado que , al tener en cuenta los límites en las integrales anteriores resulta :

 

 

           ,                                        (9.9)

 

 

expresión ésta esperable si se tienen en cuenta tanto la hipótesis básica de Eddington como la tercera propiedad de un campo isótropo representada por la expresión (6.21). Finalmente, para la integral K se tiene :

 

    

 

Puesto que , las dos integrales del segundo miembro de la expresión anterior son ambas iguales a 1/3. Luego :

 

 

 

                                                                                       (9.10)

 

 

De (9.8) y (9.10) se deriva la siguiente relación simple válida en esta primera aproximación :

 

 

                                                                                                       (9.11)

 

 

 

9.2.3 Determinación de la función fuente S(t)

 

            El cálculo de los parámetros astrofísicos J(t), F(t) y K(t)  en función explícita de las intensidades I₁ e I₂  se lleva cabo teniendo en cuenta la hipótesis básica formulada por Eddington.  Nos interesa ahora determinar la función fuente S(t) explícitamente en función de t  en la primera aproximación de Eddington. Dado que en una atmósfera gris en equilibrio radiativo S(t) = J(t) y, a su vez, de (9.11) es J(t) = 3K(t), la determinación de la función fuente se reduce a determinar K(t). Puesto que de (9.4) K(t) es una función lineal de t  de la forma :

 

 

                                                                                                (9.12)

 

 

en la cual  es una constante, para determinar S(t) es necesario calcular dicha constante. El valor de la misma puede determinarse de :

 

 

                                                                                              (9.13)

 

 

            En la Sección 2.1 hemos supuesto que no entra radiación por la superficie de la estrella, luego I₂(0) = 0. Las expresiones (9.8) y (9.9) evaluadas en t = 0 conducen respectivamente a :

 

 

 y

 

, de las cuales se obtiene :

 

                                                                                                           (9.14)

 

 

            Luego , por lo que la función fuente en esta primera aproximación resulta una función lineal de t  de la forma :

 

 

                                                                                             (9.15)

 

 

 

2.4 Determinación de las funciones I₁(t) e I₂(t)

 

            Para obtener las funciones I₁ e I₂ explícitamente en términos de t  basta resolver el sistema de ecuaciones (9.8) y (9.9), teniendo en cuenta que F(t) = F₀ (flujo total en la superficie de la fotosfera). Asi se obtienen :

 

 

                                               ,                                                   (9.16)

 

 

                                               ,                                                           (9.17)

 

 

las cuales verifican que :

 

 

 

 y 

 

.

 

 

            En ocasiones, en lugar del flujo monocromático F_l definido en (6.14) suele utilizarse el denominado  flujo de Eddington definido como H_l  = F_l/4p, o bien el correspondiente flujo de Eddington integrado H = F/4p. En este caso la expresión del flujo (9.9) se transforma en :

 

 

                                                                                       (9.18)

 

 

De acuerdo con (9.16) y (9.17) las intensidades I₁ e I₂ aumentan con t. Sin embargo, el flujo total a cualquier profundidad debe mantenerse constante, tal como se ilustra en la Figura 9-2.

 

 

2.5 Equilibrio termodinámico local y gradiente de temperatura

 

            La verdadera solución de la primera aproximación de Eddington consiste en encontrar la variación de la temperatura en función de la profundidad óptica. Estamos de esta manera admitiendo que la temperatura varía con la profundidad óptica en la fotosfera estelar y que, por consiguiente, el campo de radiación en la misma no es isótropo al existir un flujo neto emergente. Es evidente que en las fotosferas estelares no existen condiciones de equilibrio termodinámico estricto. De existir tales condiciones, toda la fotosfera estaría caracterizada por una única temperatura y la ley de Kirchhoff (6.60) tendría validez en toda la extensión de la misma. En este caso, no existiría lógicamente variación de la temperatura con la profundidad óptica. Sin embargo, dado que la fotosfera de una estrella se encuentra en estado estacionario por mucho tiempo, la misma constituye un sistema físico que, si bien no se encuentra en equilibrio termodinámico estricto, permite describir sus propiedades locales con gran exactitud mediante la ley de Kirchhoff.

 

            Hemos supuesto que la atmósfera gris que estamos estudiando se encuentra en condiciones de equilibrio termodinámico local (ETL). En consecuencia, cada capa a profundidad óptica t  estará caracterizada por una temperatura T(t) y la misma irradiará como el cuerpo negro (función de Planck) a esa determinada temperatura. Si se considera otra capa a profundidad t’, por ejemplo, le corresponderá también otra temperatura T(t’), por lo que dicha capa irradiará como un cuerpo negro a esa temperatura. En suma, ETL significa que en cada a profundidad t, individualmente o localmente, son válidas las leyes que regulan la materia en condiciones de equilibrio termodinámico estricto (Boltzmann, Saha, Maxwell, etc). Nótese que aún cuando en cada capa fotosférica se admite que existe ETL y que por ende dicha capa emite como un cuerpo negro, la emisión total de la fotosfera (promedio de las capas) no es ni se considera planqueana.

 

            Regresemos ahora al problema de determinar la variación de la temperatura en una fotosfera gris que además cumple las condiciones impuestas en la Sección 9.2.1. Si se acepta la hipótesis de ETL, esto implica que en en cada capa a profundidad t la función fuente S_n(t) = j_n/k  será igual a la función de Planck . O bien :

 

 

                                                        (9.19)

 

 

            Dado que la emisión en cada capa t  se considera planqueana, de (2.14) y (6.21) se tiene :

 

 

                                                                                              (9.20)

 

 

            De (9.15) y (9.20) resulta para el gradiente de temperatura la siguiente expresión:

 

 

                                                                                            (9.21)

 

 

            Con frecuencia suele expresarse la distribución de temperatura en la fotosfera estelar en términos de la temperatura efectiva de la misma. Dado que de (8.9) es , la (9.21) se transforma en :

 

 

                                                                                           (9.22)

 

 

            Soluciones completas y rigurosas de una atmósfera gris, estática, semi-infinita, plana, sin radiación entrante, en equilibrio radiativo y ETL, conducen a ecuaciones ligeramente diferentes de (9.15) o bien de (9.22), de la forma :

 

                                                                                          (9.23)

 

                                               ,                                         (9.24)

 

 

en las cuales  se conoce como función de Hopf. Veremos más adelante que esta función varía muy poco con la profundidad óptica, ya que en la base de la atmósfera () es  = 0.710, mientras que en la superficie () es = 0.577.

 

            Nótese la diferencia existente entre las temperaturas  y   . La primera es simplemente la temperatura de Planck que caracteriza al campo radiativo a  la profundidad óptica t donde existe ETL, en tanto que la segunda caracteriza la luminosidad total de la estrella. La temperatura efectiva es pues una especie de temperatura media de la fotosfera estelar que define el flujo total. La expresión (9.22) muestra la relación existente entre entre ambas temperaturas en la primera aproximación de Eddington.  y   coinciden solamente en t = 2/3, lo que parece razonable ya que la temperatura efectiva debe dar una idea del flujo total representado por un promedio de las capas fotosféricas. Haciendo t = 0, se obtiene la siguiente relación entre las temperaturas superficial y efectiva :

 

 

                                                                                                    (9.25)

 

Se advierte entonces que en la primera aproximación de Eddington la temperatura efectiva es aproximadamente un 19% mayor que la temperatura superficial. Esto no resulta fácil de comprobar con las observaciones. En efecto, puesto que la temperatura efectiva no es un parámetro directamente observable, suele en general adoptarse un modelo de fotosfera estelar definido para una determinada , gravedad superficial y composición química. Si al comparar el flujo medido proveniente de la estrella con el que predice el modelo la coincidencia resulta aceptable, suele asignarse a la fotosfera la temperatura efectiva, gravedad superficial y composición química del modelo.